Логика для всех. От пиратов до мудрецов - Страница 28

К оглавлению

Колпаки на мудрецах такие:

1) Красный, красный, желтый, желтый, зеленый (а второй зеленый спрятан).

Ответ. Определить цвет своего колпака могут все.

2) Желтый, зеленый, желтый, зеленый, красный.

Ответ. Определить цвет своего колпака могут все.

3) Красный, желтый, желтый, красный, зеленый.

Ответ. Определить цвет своего колпака могут все.

4) Желтый, красный, зеленый, желтый, красный.

Ответ. Два последних скажут «Не знаю», а три первых назовут цвет.

5) Зеленый, желтый, красный, красный, зеленый.

Ответ. Два последних скажут «Не знаю», а три первых назовут цвет.

6) Желтый, желтый, красный, зеленый, зеленый.

Ответ. Последний скажет «Не знаю», а остальные назовут свой цвет.

7) Красный, желтый, красный, зеленый, зеленый.

Ответ. Пятый и третий скажут «Не знаю», а остальные назовут свой цвет.

Два мудреца и последовательные числа

Задача 10.14. 1) Двум мудрецам написали на лбу по натуральному числу и сообщили, что эти числа последовательные. Когда мудрецы посмотрели друг на друга, между ними состоялся такой диалог:

А: «Я не знаю моего числа».

Б: «А я знаю мое число».

Какие числа были написаны?

Решение. Если бы А увидел число 1, то он бы понял, что у него на лбу число 2. То есть А фактически сообщил Б, что у него не 1. Если Б увидел число 2, то он сделал вывод, что у него самого – 3. Если Б увидел 1, то он независимо от слов А понял, что у него самого 2. А если бы Б увидел другое число, он не смог бы определить свое число.

Ответ. Либо у А написано число 2, а у Б – число 3, либо у А – число 1, а у Б – число 2.

Сценарий. После разбора этой задачи можно поиграть с числами чуть побольше (3 и 4, 4 и 5, 5 и 6). Рисовать каждый раз на лбу необязательно, можно использовать наклейки на лоб, а чтобы зрителям было труднее, можно писать числа на бумажках. Двум школьникам дают написанные на бумажках последовательные числа (причем делать это могут зрители), а они по очереди говорят, знают ли они, что написано на бумажке у второго «мудреца». Когда один из них скажет «Знаю», зрители должны догадаться, какие у них числа, и проверить, не ошибся ли кто-то из «мудрецов». Интересно сравнить, как изменится диалог, если дать мудрецам те же числа, но в обратном порядке. Экспериментируя, школьники могут заметить, что первым догадывается о числе партнера тот из мудрецов, кто видит меньшее число. После этого можно предложить исследовать ситуацию в общем виде.

2) Каждому из двух мудрецов дали бумажку с написанным на ней натуральным числом и сообщили, что эти числа последовательные. Когда мудрецы посмотрели на числа, между ними состоялся такой диалог:

А: «Я не знаю твое число».

Б: «И я не знаю твое число».

А: «И я не знаю твое число».

…

а) Докажите, что рано или поздно кто-то из мудрецов сможет сказать: «Теперь я знаю твое число».

б) От чего (от написанных чисел или от того, кто начал диалог) зависит, кто из мудрецов первым узнает число другого?

в) Докажите, что второй мудрец сможет сказать в ответ: «И я теперь тоже знаю твое число».

Решение, а) Произнося по очереди «Я не знаю твое число», мудрецы сообщают друг другу следующую информацию:

А: «У меня не 1»;

Б: «У меня не 1 и не 2»;

А: «У меня не 1, не 2 и не 3» и так далее, прибавляя по одному числу с каждым новым высказыванием.

Ясно, что это не может продолжаться бесконечно.

б) Пусть одному из мудрецов (неважно, А или Б) написали меньшее число n, а второму – большее число n + 1. До (n — 1) – го высказывания никто из них не знает, какое число у партнера. Если (n — 1) – е высказывание делает второй, то первый поймет, какое у него число, и скажет об этом. Если (n — 1) – е высказывание делает первый, то второй не сможет сразу определить, какое число у первого, n или n + 2, и сделает n-е высказывание: «И я не знаю твое число». А первый теперь все поймет.

в) Как выяснилось в предыдущем пункте, сказав «Теперь я знаю твое число», первый мудрец фактически сообщает: «Мое число меньше твоего». Второму мудрецу остается лишь отнять 1 от своего числа.

3) Каждому из двух мудрецов дали бумажку с написанным на ней натуральным числом и сообщили, что эти числа последовательные. Когда мудрецы посмотрели на числа, между ними состоялся такой диалог:

А: «Я не знаю твое число».

Б: «И я не знаю твое число».

А: «И я не знаю твое число».

Б: «И я не знаю твое число».

После того как каждый сообщил о своем незнании 10 раз, мудрец А сказал: «Теперь я знаю твое число». Какие числа были написаны на бумажках?

Ответ. Либо у А число 20, а у Б число 21, либо у А число 21, а у Б число 22.

Решение. После первой реплики А мудрец Б понимает, что у А не число 1. Если бы у Б было число 2, он бы понял, что у А число 3. По его первой реплике ясно, что это не так (а также что у Б не 1), и мудрец А делает вывод, что у Б не 1 и не 2. Рассуждая аналогично, делаем два вывода. Во-первых, после десятой реплики А мудрец Б понимает, что у А не числа от 1 до 19 включительно. Во-вторых, после десятой реплики Б мудрец А понимает, что у Б не числа от 1 до 20 включительно. Понять после этого, какое у Б число, мудрец А мог в двух случаях: если у него самого число 20, то у Б число 21, а если у А число 21, то у Б – 22.

Дополнительные задачи

Трудные задачи решаем немедленно, невозможные – чуть погодя.

«Все» и «некоторые»

Задача Д1. На крыльце дома сидят рядом мальчик и девочка. Саша говорит: «Я мальчик». Женя говорит: «Я девочка». Хотя бы один из них врет. Кто мальчик, а кто девочка?

Задача Д2. В некоем конгрессе заседают 100 политических деятелей. Каждый из них либо продажен, либо честен. Известно, что: