Логика для всех. От пиратов до мудрецов - Страница 37

6.10. 1) Вывод сделать нельзя. 2) Некоторые горные кручи не являются заборами. 3) Джон – не гусеница. 4) Вывод сделать нельзя. 5) Музыка, не вызывающая колебаний воздуха, не стоит того, чтобы за нее платили деньги.

6.12. Эта задача не столько логическая, сколько лингвистическая. Если первое высказывание понимать как «Любое сочинение Пушкина обладает свойством: его нельзя прочитать за одну ночь», то рассуждение становится логически безупречным. Но на самом деле здесь речь идет обо всех сочинениях Пушкина как о едином целом. И такое высказывание никак не связано со вторым высказыванием об одном из этих сочинений.

Ответ. Вывод неверен.

Занятие 7

7.7. Утверждение «Если собаки рядом нет, то кот не шипит» противоположно обратному к утверждению «Если кот шипит, то рядом собака». Поэтому они равносильны, и достаточно было бы произнести любое из них.

Ответ. Сказал.

7.8. 1) Неверно, про Петино поведение при несделанных уроках никаких данных нет. Он мог, скажем, поднять руку, чтобы задать вопрос. 2) К сожалению, верно. Это можно доказать от противного: если бы Петя был готов к уроку, он бы поднял руку.

7.9. Решение 1. Предположим противное: числа на концах любого ребра отличаются не более чем на 2. Рассмотрим вершину, в которой расположено число 1. В соседних с ней вершинах могут располагаться лишь 2 и 3. Но у каждой вершины куба есть три соседних. Полученное противоречие доказывает, что предположение неверно, и числа на концах хоть какого-нибудь ребра должны отличаться не менее чем на 3.

Решение 2. Предположим противное: числа на концах любого ребра отличаются не более чем на 2. От одной вершины до любой другой вершины можно добраться по одному, двум или трем ребрам. Поэтому числа в вершинах куба отличаются друг от друга не более чем на 6. Однако среди них есть 1 и 8, отличающиеся на 7. Полученное противоречие доказывает, что предположение неверно, числа на концах хоть какого-нибудь ребра должны отличаться не менее чем на 3.

7.10. Решение 1. Предположим, что нет двух друзей, которые послали открытки друг другу. Тогда каждый мог получить не более четырех открыток – только от тех, кому сам не посылал. И даже если все открытки дошли, каждый получил меньше открыток, чем послал. Поэтому и общее число отправленных открыток больше числа полученных. Противоречие.

Решение 2. Предположим, что нет двух друзей, которые послали открытки друг другу. Тогда послано не более 10 · 9: 2 = 45 открыток, но по условию их было послано 5*10 = 50. Противоречие.

7.11. Допустим, что это возможно. Пусть сумма чисел, стоящих в концах отрезков, равна А, сумма чисел, расположенных в серединах отрезков, равна В, а сумма трех чисел вдоль каждого отрезка равна С. Ясно, что А + В = 0 + 1 + 2 +.. + 9 = 45. Каждая концевая точка принадлежит ровно трем отрезкам, а все середины различны. Поэтому, сложив суммы чисел на всех шести отрезках, получим: ЗА + В = 6С. Отсюда 2А + 45 = 6С. Получили противоречие, так как слева нечетное число, а справа четное.

Ответ. Нельзя.

7.12. Вничью игра закончиться не может. Это означает, что ровно у одного из игроков есть выигрышная стратегия. Предположим, что такая стратегия есть у второго игрока. Долька, находящаяся в правом верхнем углу, съедена в любом случае после первого хода. Если у второго есть выигрышная стратегия, то у него есть выигрышный ответный ход на ход первого, состоящий в поедании только правой верхней дольки. Но этот выигрышный ход первый может с тем же успехом сделать сам с самого начала, а далее воспользоваться выигрышной стратегией второго.

7.13. Обсуждение. Задача кажется неприступной. Прежде чем нащупать «узкое место», хочется поэкспериментировать. Но как тут экспериментировать, когда секторов 25, да еще и порядок произвольный? А если секторов поменьше? Если секторов три, их все посетить не удастся, это доказывается коротким перебором. Если четыре, то их все можно посетить. Если пять – снова не удается. Здесь полный перебор уже затруднителен, зато видны две особенности сектора номер пять: если попадешь в пятерку, оттуда никуда не уйдешь; если удается пройти почти все числа, то именно пятерка всегда остается. Интересно, почему?

Решение. Предположим, что кузнечик побывал во всех секторах. Тогда сектор с номером 25 был последним, так как из него кузнечик не сможет переместиться в иной сектор. До этого кузнечик не мог побывать дважды в одном секторе, иначе бы его путь зациклился, и в 25-й сектор он бы не попал. А побывав во всех секторах по разу, кузнечик переместился бы на 1 + 2 +… + 24 = 300 секторов, то есть на число, кратное 25. Значит, он начал свое путешествие в 25-м секторе, что невозможно.

7.14. 1) Предположим, что после построения по росту Вася выше стоящего сразу за ним Никиты более чем на 10 см. Назовем Васю и стоящих перед ним мальчиков высокими, а Никиту и стоящих после него мальчиков низкими. Разница в росте между любым высоким и любым низким мальчиком больше 10 см. Но при первоначальном построении, идя вдоль строя от Васи к Никите, мы на каком-то шаге перейдем от высокого к низкому. Эти два мальчика стояли рядом, поэтому разница в росте между ними не превышает 10 см. Противоречие.

2) Пусть мальчики и девочки построены в пары в порядке убывания роста. Предположим, что в одной из пар мальчик Ваня выше девочки Маши более, чем на 10 см. Тогда рост каждого мальчика, стоящего до Вани, отличается от роста каждой девочки, стоящей после Маши, еще сильнее. Поэтому при первом построении каждый из этих мальчиков, включая Ваню, мог стоять только с кем-то из девочек, стоящих перед Машей, но таких девочек на одну меньше, чем требуется. Противоречие. Если Маша выше Вани, рассуждения аналогичны.