Логика для всех. От пиратов до мудрецов - Страница 54

Задача 7. Путешественник посетил деревню, каждый житель которой либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Все жители деревни встали в круг лицом к центру, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив ли тот. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей составляют лжецы. Определите и вы, чему она равна.

Задача 8. Путешественник на острове рыцарей и лжецов пришел в гости к своему знакомому рыцарю и увидел его за круглым столом с пятью гостями.

– Интересно, а сколько среди вас рыцарей? – спросил он.

– А ты задай каждому какой-нибудь вопрос и узнай сам, – посоветовал один из гостей.

– Хорошо. Пусть каждый ответит на вопрос: кто твои соседи? – спросил путешественник.

На этот вопрос все ответили одинаково.

– Данных недостаточно! – сказал путешественник.

– Но сегодня день моего рождения, не забывай об этом, – сказал один из гостей.

– Да, сегодня день его рождения! – сказал его сосед. И путешественник смог узнать, сколько за столом рыцарей.

Сколько же их?

Задача 9. Саша и Маша загадали по натуральному числу и сказали их Васе. Вася написал на одном листе бумаги сумму загаданных чисел, а на другом – их произведение, после чего один из листов спрятал, а другой (на нем оказалось написано число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?

Задача 10. Есть 9 карточек с цифрами 1, 2…, 9. Их перетасовали, отдали четыре Ивану, четыре Василисе и одну Бабе-Яге. Иван сообщил вслух, что сумма цифр на его карточках оканчивается на 7.

1) Знает ли теперь Василиса карточку Бабы-Яги?

2) Знает ли теперь Баба-Яга набор карточек Василисы?

3) Может ли случится, что про какую-то карточку, кроме своей, Баба-Яга знает, у кого она находится?

Задача 11. Пять мудрецов играют в мафию. Среди них два мафиози, два мирных жителя и комиссар. Мафиози знают друг друга, комиссар знает все, мирные жители изначально ничего не знают. Мафиози могут говорить что угодно. Остальные говорят только то, в чем сами уверены. Состоялся разговор:

А: «Д – мирный житель».

Б: «Нет, Д – мафиози».

В: «Д не знает, кто я».

Г: «Д знает, кто я».

Д: «Б – мафиози».

Определите роли тех игроков, для кого это возможно.

Задача 1. Двум мудрецам принесли один белый и два черных колпака. Затем им завязали глаза и надели каждому на голову по колпаку, а третий спрятали. После этого мудрецам развязали глаза, и каждый смог увидеть, какой колпак на голове у другого. Затем у первого мудреца спросили, какой колпак на голове у него самого, и он ответил правильно. Какие колпаки надели на головы мудрецам?

Задача 2. Двум мудрецам принесли один белый и два черных колпака. Затем им завязали глаза и надели каждому на голову по черному колпаку, а белый спрятали. Когда им развязали глаза, у первого мудреца спросили, какой колпак на голове у него самого. Что он ответил? Когда после этого тот же вопрос задали второму мудрецу, он ответил правильно. Как он догадался?

Задача 3. Изменится ли решение предыдущей задачи, если вначале принесли: а) один белый и три черных колпака; б) два белых и два черных колпака?

Задача 4. Трем мудрецам принесли два белых и три черных колпака. Затем им завязали глаза и надели каждому на голову по черному колпаку, а белые спрятали. Когда им развязали глаза, у первого мудреца спросили, знает ли он, какой колпак на голове у него самого.

а) Что он ответил?

б) Тот же вопрос задали второму мудрецу. Что ответил второй?

в) Наконец, спросили третьего мудреца, и он правильно назвал цвет своего колпака. Как он рассуждал?

Задача 5*. Парадокс трех мудрецов. В задаче о трех мудрецах первый смог бы определить цвет своего колпака лишь в одном случае: если бы видел перед собой двух мудрецов в белых колпаках. Но и второй, и третий мудрецы знают, что это не так: они же видят черные колпаки друг на друге. Поэтому ответ «Не знаю», произнесенный первым мудрецом, для каждого из них очевиден и не содержит никакой информации.

С другой стороны, если первому мудрецу не задавать вопроса, то второй окажется в положении первого, а третий – в положении второго, и не сможет ответить на вопрос. Но третий ответил, значит, информация в ответе первого все же была! Какая же?

Задача 6. Как можно изменить количество колпаков в задаче о трех мудрецах, чтобы решение всех пунктов в точности сохранилось?

Задача 7*. Придумайте задачу, аналогичную задаче о трех мудрецах, для большего количества мудрецов. Решите задачу для четырех и для пяти мудрецов.

Задача 8*. В купе поезда собрались 7 мудрецов. Окно было открыто. Поезд въехал в тоннель, и лица всех мудрецов оказались испачканы сажей. Каждый видел, что и другие испачканы, но себя не видел и спокойно продолжал беседу. В купе вошел проводник и сказал: «Господа, среди вас есть люди с грязными лицами. В поезде воды нет. Зато на каждой станции поезд стоит достаточно долго, так что рекомендую испачкавшимся пойти и умыться». Несколько станций никто из мудрецов не реагировал на это замечание, но на некоторой станции все одновременно встали и пошли умываться.

1) На какой по счету станции мудрецы поняли, что следует умыться?

2) Парадокс проводника. Если бы проводник промолчал, каждый бы по-прежнему считал себя чистым и умываться не пошел бы. Но ведь каждый видел, что среди них есть испачкавшиеся, так что проводник, казалось бы, ничего нового не сказал. Так что же сказал проводник?