Логика для всех. От пиратов до мудрецов - Страница 17

3) Одно дело – понять, что надо искать противоречие, и совсем другое – уметь его находить. Поиск противоречия часто связан с владением специфической техникой (подсчет двумя способами, инварианты, раскраски, свойства делимости, принцип Дирихле, неравенства и оценки и т. д.). Мы постарались включить в занятие задачи, которые можно решить (а отмеченную звездочкой хотя бы понять) без специальной подготовки.

Задача 7.1. Если рыцарь встречает дракона, то рыцарь вступает в бой.

1) Составьте к этому высказыванию обратное, противоположное и противоположное обратному.

2) Известно, что рыцарь вступил в бой. Означает ли это, что он встретил дракона?

3) Рыцарь не вступил в бой. Означает ли это, что он не встретил дракона?

Ответ. 1) Обратное: если рыцарь вступает в бой, то рыцарь встречает дракона. Противоположное: если рыцарь не встречает дракона, то рыцарь не вступает в бой. Противоположное обратному: если рыцарь не вступает в бой, то рыцарь не встречает дракона.

2) Не означает. Рыцарь мог вступить в бой не только с драконом. Например, с ветряными мельницами. Как мы не раз убеждались, истинность прямого и обратного высказывания никак не связаны.

3) Означает. Ведь если бы он встретил дракона, то вступил бы в бой, что противоречит условию. То есть истинному прямому высказыванию соответствует истинное высказывание, противоположное обратному. А это значит, что их можно заменять друг на друга.

Задача 7.2. Многозначное число не содержит повторяющихся цифр. Докажите, что оно не может быть произведением двух меньших чисел, состоящих только из единиц и нулей.

Обсуждение. Как подступиться к этой задаче? Чисел без повторяющихся цифр много, и общие выводы делать о них затруднительно. Попробуем вместо прямой задачи решить противоположную обратной: докажем, что число, являющееся произведением двух чисел, состоящих только из единиц и нулей, содержит повторяющиеся цифры.

Решение. Предположим, что число является произведением двух чисел, состоящих только из единиц и нулей. Что может быть его последней цифрой? Только 1 или 0. А последней ненулевой цифрой? Только 1 (потому что произведение последних ненулевых цифр сомножителей – это произведение двух единиц). А что может быть первой цифрой? Тоже только 1. Однако по условию число не может содержать двух единиц. Значит, первая единица и является последней ненулевой цифрой. В таком случае в каждом из сомножителей только одна единица в записи. Но так как оба числа больше 1 (иначе другое равно произведению), оба они заканчиваются на 0, и в произведении найдутся два нуля.

Комментарий. Задача решена методом от противного: мы предположили, что доказываемое утверждение неверно, и пришли к противоречию. Одно из противоречащих друг другу утверждений – условие (число не содержит повторяющихся цифр), а другое – его отрицание.

Задача 7.3. Двое играют в «крестики-нолики» на бесконечной доске. Крестики ходят первыми. Выигрывает тот, кто смог поставить пять своих значков подряд по вертикали, горизонтали или диагонали. Докажите, что крестики могут как минимум не проиграть.

Обсуждение. Поясним, что значит «могут не проиграть». Вдруг крестики – первоклассник, а нолики – выпускник, игравший в «крестики-нолики» на всех уроках в течение одиннадцати лет? Однако в подобных задачах рассматривается игра не реальных людей, а идеальных игроков, способных просчитывать игру на какое угодно число ходов вперед. Исход партии между такими игроками предрешен правилами игры и не зависит от их настроения и самочувствия. Либо у идеальных крестиков есть беспроигрышная стратегия (т. е. возможность ходить так, чтобы не проиграть при любых действиях ноликов) – и тогда он ей непременно воспользуется и сможет не проиграть, либо нет, т. е. у ноликов есть возможность выигрывать всегда, независимо от ходов первого (то есть выигрышная стратегия).

Решение. Предположим противное. Пусть у первого игрока – крестиков – нет беспроигрышной стратегии. Это означает, что у второго есть выигрышная стратегия. В таком случае крестики могут сделать первый ход куда угодно, а затем руководствоваться выигрышной стратегией второго игрока. Если эта стратегия говорит ему поставить крестик туда, где он уже стоит, надо просто поставить его куда угодно, от этого хуже не будет. Таким образом, если выигрышная стратегия есть у ноликов, то она есть и у крестиков. Но у них не может быть одновременно выигрышных стратегий. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно, и крестики при безошибочной игре не проиграют.

Комментарий. В этой задаче одно из противоречащих друг другу утверждений – то, что требуется доказать (крестики могут как минимум не проиграть), а второе – его отрицание (нолики могут выиграть).

Задача 7.4. В клетках шахматной доски как-то расставлены все натуральные числа от 1 до 64. Докажите, что найдутся две соседние по стороне или по вершине клетки, числа в которых отличаются не меньше чем на 9.

Решение. Предположим противное: разность между числами, стоящими в любых двух соседних по стороне или вершине клетках, не превышает 8. Заметим, что расстояние между любыми двумя клетками не превышает семи королевских ходов. Поэтому разность между числами в любых двух клетках по предположению не превышает 7 · 8 = 56. Но разность 64 – 1 = 63 > 56. Полученное противоречие доказывает, что предположение неверно и найдутся два числа в соседних клетках, отличающиеся не менее чем на 9.

Комментарий. В этой задаче метод от противного применен в широком понимании: противоречащие друг другу утверждения («Числа в любых двух клетках отличаются не более чем на 56» и «Существуют две клетки, числа в которых отличаются на 63») не сформулированы явно ни в условии задачи, ни в предположении, а получены из них.