Логика для всех. От пиратов до мудрецов - Страница 19

К оглавлению

19


Задача 7.12. Двое играют в игру «Щелк!». У них есть прямоугольная шоколадка, разделенная на дольки. Левая нижняя долька отравлена. Ходят по очереди. За ход можно съесть произвольную дольку и все находящиеся справа и сверху от нее. Съевший отравленную дольку проигрывает. Докажите, что у первого игрока есть выигрышная стратегия на любой прямоугольной шоколадке, в которой больше одной дольки (предъявлять стратегию не обязательно).

Задача 7.13. Круг разбит на 25 секторов, пронумерованных в произвольном порядке числами от 1 до 25. В одном из секторов сидит кузнечик. Он прыгает по кругу, каждым своим прыжком перемещаясь по часовой стрелке на количество секторов, равное номеру текущего сектора. Докажите, что в некотором секторе кузнечик не побывает никогда.

Задача 7.14. 1) Несколько мальчиков стали в ряд, при этом разница в росте между двумя соседними не более 10 см. Потом их построили по росту. Докажите, что и теперь разница в росте между двумя соседними мальчиками не более 10 см.

2) На уроке танцев 15 мальчиков и 15 девочек построили двумя параллельными колоннами, так что образовалось 15 пар. В каждой паре измерили разницу роста мальчика и девочки (разница берется по абсолютной величине, то есть из большего вычитают меньшее). Максимальная разность оказалась 10 см. В другой раз перед образованием пар каждую колонну предварительно построили по росту. Докажите, что максимальная разность будет не больше 10 см.

Задача 7.15. Найдите ошибку в рассуждении.

Докажем от противного, что ленивых учеников больше, чем прилежных. Предположим, что прилежных не меньше, чем ленивых. Несомненно, ленивых учеников больше, чем надо. Значит, получается, что прилежных учеников тем более больше, чем надо?! С этим мы, учителя, согласиться никак не можем. Получили противоречие, значит, исходное предположение было неверно, и на самом деле ленивых учеников больше, чем прилежных.

Занятие 8
Равносильность


Знаю – один
Мне равносилен.
М. Цветаева

Это занятие разнообразно как по тематике, так и по сложности задач. Первый уровень образуют задачи 8.1–8.3 и 8.6–8.9, с помощью которых ребята знакомятся с понятием равносильности высказываний и продолжают работать со следствием.



Как и при изучении следствия, использование таблиц истинности и кругов Эйлера является не самоцелью, а средством решения задач и не должно быть чрезмерным. При обсуждении задачи 8.1 лучше просить ребят привести свои примеры высказываний и совместно прийти к выводу, что во втором пункте этого достаточно для полного решения задачи, а в первом и третьем примеры могут лишь помочь угадать ответ. Задача 8.3 служит для повторения материала второго занятия (про всех и некоторых), а также важных фактов, связанных с делимостью. Задачи 8.2, 8.9 и 8.10 полезны для повторения метода от противного.

Ко второму уровню сложности можно отнести задачи 8.4, 8.5 и 8.10, в которых ставится вопрос о доказательстве равносильности нескольких утверждений. В задачах 8.5 и 8.10 значение имеет уже не только логическая структура доказательства, но и математическое содержание самих высказываний. Задача 8.11 не столько логическая, сколько комбинаторная; ее последний пункт существенно сложнее остальных задач занятия.


Рассмотрим два высказывания. А: «Число кратно 9», Б: «Сумма цифр числа кратна 9». Для каждого конкретного натурального числа эти высказывания либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, поскольку натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Другими словами, высказывания А и Б равносильны. Записывается это так: А⇔Б.


Таблица истинности показывает, когда высказывание «А⇔Б» истинно, а когда ложно:



Изобразим область истинности равносильных высказываний. Если те объекты, для которых истинно высказывание А, находятся в первом круге, а те, для которых истинно высказывание Б, во втором, то те, для которых истинно высказывание А⇔Б, находятся в серой области (рис. 17).


Рис. 17


Заметим, что в рассмотренном выше примере все натуральные числа находятся в закрашенной серым области истинности высказывания А⇔Б. Это и означает, что оно истинно для всех натуральных чисел.

Задача 8.1.1) Известно, что высказывание А ⇔ Б истинно. Что можно сказать об истинности высказываний А ⇒ Б и Б ⇒ А?

2) Известно, что высказывание А ⇒ Б истинно. Можно ли что-то сказать об истинности высказывания А ⇔ Б?

3) Известно, что высказывание А ⇒ Б ложно. Можно ли что-то сказать об истинности высказывания А ⇔ Б?

Приведите для каждого случая примеры подходящих высказываний.

Ответ. 1) Оба высказывания истинны; 2) нет, высказывание А ⇔ Б может быть как истинным (в случаях, если А и Б одновременно истинны или одновременно ложны), так и ложным (в случае, если А ложно, а Б истинно); 3) да, высказывание А Б ложно, поскольку А истинно, а Б ложно.

Решение. Ответить на все три вопроса можно разными способами.

Первый способ: посмотрим на таблицы истинности для А ⇒ Б, Б^Аи А<^Б. Для удобства приведем общую таблицу. 1) А⇔ Б истинно для первой и четвертой строк, для этих строк и А ⇒ Б и Б ⇒ А оба истинны. 2) и 3) решаются аналогично.

19