Логика для всех. От пиратов до мудрецов - Страница 31

Задача Д41. Судье известно, что из двух подозреваемых А и Б один – рыцарь, а другой – шпион, который может как лгать, так и говорить правду. Судья спросил у А, шпион ли Б. После ответа А он сразу понял, кто шпион. Кто же?

Задача Д42*. Перед судом предстали трое обвиняемых: А, Б и В. Суду было известно, что один из них рыцарь, другой лжец, а третий шпион (способный как говорить правду, так и лгать). Но кто есть кто, суд не знал.

Подсудимого А судья спросил:

– Вы шпион?

А ответил односложно («да» или «нет»). Тогда судья спросил обвиняемого Б:

– Сказал ли А правду?

Ответил Б также односложно («да» или «нет»). В этот момент А заявил:

– Обвиняемый В не шпион.

Судья ответил:

– Я и раньше знал это, а теперь я знаю, кто шпион.

1) Кто шпион?

2) Что сказал Б?

Задача Д43*. В некотором королевстве живут граждане трех типов: а) дурак считает всех дураками, а себя умным; б) скромный умный про всех знает правильно, а себя считает дураком; в) уверенный умный про всех знает правильно, а себя считает умным. В думе 200 депутатов. Премьер-министр провел анонимный опрос думцев: сколько умных в этом зале сейчас находится? По результатам опроса он не смог понять ответ. Но тут из поездки вернулся единственный депутат, не участвовавший в опросе. Он ответил на вопрос про всю думу, включая себя, и, увидев этот ответ, премьер-министр всё понял. Сколько умных в думе могло быть (включая путешественника)?

Задача Д44*. Из колоды вынули 7 карт, показали всем, перетасовали и раздали Грише и Леше по 3 карты, а оставшуюся карту

1) спрятали;

2) отдали Коле.

Гриша и Леша могут по очереди сообщать вслух любую информацию о своих картах. Могут ли они сообщить друг другу свои карты так, чтобы при этом Коля не смог вычислить местонахождение ни одной из тех карт, которых он не видит? (Гриша и Леша не договаривались о каком-либо особом способе общения; все переговоры происходят открытым текстом.)

Задача Д45*. Петя, Дима, Миша, Саша и Илья играют в мафию. Среди них два мафиози, два мирных жителя и комиссар. Мафиози знают только друг друга, комиссар знает роль каждого, мирные жители не знают роли других игроков. Мафиози всегда лгут. Комиссар и мирные жители говорят правду. Мальчики сделали следующие заявления (в указанном порядке):

Петя: «Я не знаю, кто Дима».

Дима: «Я знаю, кто комиссар».

Миша: «Я знаю, кто Петя».

Саша: «Я знаю, что Миша – комиссар».

Кто Илья?

Задача Д46*. Трое гусаров ехали по улице друг за другом. Каждому в руки упало по цветку от девушек на балконе. Гусары знают, кто был в строю, но каждый видел только, кто и в каком порядке ехал впереди него и кто им бросал цветы (а кто бросил ему самому – не знает). Полковник видел только то, что его дочь бросила цветок ровно одному из этих гусаров, и гусары тоже это знают. Полковник знает, кто именно ехал, но в каком порядке – не знает. Он может вызывать гусаров поодиночке и задавать им вопросы, на которые те честно отвечают «Так точно», «Никак нет» или «Не могу знать». Как полковнику за три вопроса узнать, кому из них бросила цветок его дочь?

Задача Д47*. Хватит ли полковнику из предыдущей задачи четырех вопросов, чтобы узнать, кому из четырех гусаров бросила цветок его дочь? А десяти вопросов, если гусаров было десять?

Мудрецы и колпаки

Во всех задачах этого и следующего разделов считается, что мудрецы рассуждают быстро и безошибочно. Каждому известно, что остальные участники – тоже мудрецы. Если мудрец может точно ответить на заданный вопрос, он всегда честно отвечает. Если не может, то не пытается угадать, а говорит «Не знаю». Мудрецы, стоящие в колонне (в затылок друг другу), видят колпаки всех стоящих впереди, но не видят ни своего колпака, ни колпаков стоящих сзади мудрецов. Все мудрецы слышат ответы других мудрецов.

Задача Д48. Двум мудрецам принесли два черных и один белый колпак. Затем их поставили в затылок друг другу и надели на каждого по колпаку. После этого спросили сначала второго, а потом первого, знает ли он, какого цвета колпак на его голове. Второй мудрец сказал, что не знает. А первый правильно назвал цвет своего колпака. Какой именно?

Задача Д49. Трем мудрецам принесли три черных и два белых колпака. Затем их построили в затылок друг другу, после чего надели на каждого по черному колпаку. После этого стали по очереди спрашивать каждого мудреца, начиная с последнего, какого цвета у него колпак. На это мудрецы либо отвечают «Не знаю», либо называют цвет. Что будут отвечать мудрецы?

Задача Д50 Десяти мудрецам принесли по три желтых, синих, красных и зеленых колпака. Мудрецов построили в затылок друг другу и надели каждому по колпаку, а два оставшихся колпака спрятали. Затем по очереди, начиная с последнего, стали спрашивать каждого, какого цвета у него колпак. На это мудрецы либо отвечают «Не знаю», либо называют цвет.

1) Докажите, что кто-то из мудрецов назовет цвет.

2) Докажите, что назовут цвет не менее четырех мудрецов.

Задача Д51*. Двадцати мудрецам принесли 10 белых и 50 черных колпаков. Затем им завязали глаза и надели каждому на голову по черному колпаку, а все ненадетые колпаки спрятали. После этого им развязали глаза и стали у каждого по очереди спрашивать, какого цвета колпак у него на голове. Какой по счету мудрец сможет назвать цвет? Что будут говорить следующие?

Задача Д52*. Султан пригласил шестерых мудрецов в комнату с тремя дверьми: белой, красной и синей – и достал 4 белых, 3 красных и 2 синих колпака. Мудрецы сели в круг и крепко зажмурились. После этого султан надел троим мудрецам белые колпаки, двоим красные и одному синий. Открыв глаза, мудрецы получили возможность видеть цвета колпаков у всех остальных, но не у себя. Каждую минуту раздается удар гонга, после которого все мудрецы, знающие цвет своего колпака, должны выйти в дверь соответствующего цвета. Сколько мудрецов смогут покинуть комнату?